Contenidos

• CAPITULO I: Espacios de Sobolev.

Derivadas débiles. Propiedades básicas. Espacios de Sobolev Wk,p(W) y Wk,p0(W), W Í Ân. Propiedades y ejemplos. Teoremas de extensión y aproximación. Diversas caracterizaciones del espacio W1,20. Desigualdades de Poincaré, Morrey y Sobolev-Gagliardo-Nirenberg. Teorema de Frechet-Kolmogorov. Teoremas de inmersión compacta.

• CAPITULO II: Problemas elípticos lineales.

Soluciones débiles, fuertes y clásicas. Teorema de Lax-Milgram. Existencia y unicidad de soluciones débiles para problemas en forma de divergencia (no necesariamente autoadjuntos). Problemas no homogeneos. Alternativa de Fredholm. Principio del máximo débil (para soluciones débiles). Regularidad: estimaciones L¥, regularidad interior Hk, continuidad, C0-cotas a priori, regularidad vía los teoremas de inmersión. Principios del máximo débil y fuerte (para soluciones clásicas). Lema de Hopf.

• CAPITULO III: Autovalores y descomposición espectral.

Problemas lineales con peso de signo indefinido. Caracterización variacional del autovalor principal positivo (cociente de Rayleigh). Propiedades: unicidad, monotononía respecto del dominio y del peso, simplicidad, regularidad de las autofunciones, continuidad respecto del peso. Autofunciones y descomposición espectral de L2 y H10.

• CAPITULO IV: Problemas no lineales.

Operadores de Nemitski. Métodos de monotonía. Método de sub y supersoluciones. Ejemplos y aplicaciones a diversos problemas semilineales. Ecuación logística. Teoremas de unicidad. Teoremas de punto fijo de Schauder y de Schaefer. Aplicaciones. Problemas quasilineales. Técnicas de minimización. Teoremas de no existencia. Identidad de Derrick-Pohozaev.